Martin Čičvák a brünni Janáček Zene- és Előadóművészeti Akadémia színházi rendezői szakán tanult (Alois Hajda mellett), és már egyetemi évei alatt számos izgalmas produkciót alkotott, valamint saját darabjait is színpadra állította (A ház, ami jól megy; Szonja, az ügynök).
1999 és 2004 között a Brünni Nemzeti Színház dráma tagozatának volt rendezője.
Első jelentős produkciója, Thomas Bernhard Immanuel Kant című művének adaptációja, ami 1999-ben Radok Alfréd-díjat hozott neki az Év tehetsége kategóriában.
2000 óta a prágai Činoherní Drámai Klubszínház művészeti vezetője és rendezője.
Az elmúlt években több prágai színházzal dolgozott, számos jelentős előadást alkotva meg: Klubszínház (Tennessee Williams: Macska a forró bádogtetőn, 2022; Peter Shaffer: Equus, 2021), Prágai Városi Színház-ABC (Charlie Chaplin A nagy diktátor című filmjének adaptációja, 2021), Prágai Városi Színház-Rokoko (David Grossman: Egy ló besétál egy bárba című regényének adaptációja, 2020), Pod Palmovku Színház (Csehov: A cseresznyéskert, 2021), az Ungelt Színház (Stephen Temperley: Souvenir, 2021) és a Vinohrady Színház (Viktor Dyk: Don Quijote bölcsességre térése, 2020).
A Pozsonyi Nemzeti Színházban 2004-ben mutatkozott be először, Ronald Schimmelpfennig Az arab éjszaka című drámájának rendezésével. A szlovák színházi kritikusok által adható Dosky díjat több kategóriában is elnyerte.
A kritikusok díjazták továbbá Schiller: Ármány és szerelem (2007), Georg Büchner: Leonce és Léna (2008) és J. W. Goethe: Faust (2010) című művekből készült rendezéseit is.
Martin Čičvák 2004 óta rendszeresen együttműködik a pozsonyi Aréna Színházzal. Magyarországon 2019-ben a Vígszínházban mutatták be John Cassavetes Premier című filmjének színházi átdolgozásából készült rendezését.
Martin Čičvák 2003-ban a Prágai Nemzeti Színházban mutatkozott be, Bertolt Brecht A szecsuáni jóember című darabjának rendezésével, amelyet az Ezeregyéjszaka (2005), valamint William Shakespeare: A velencei kalmár (2009) és A héja szelídítése (2011) című darabok rendezései követtek.
Operaprodukciókat is készített, többek között a pilseni Josef Kajetan Tyl Színház (Vincenzo Bellini: Capuletek és a Montague-k (Rómeó és Júlia) 2001; W. A. Mozart: Szöktetés a szerájból, 2003) és a prágai Nemzeti Színház (Mozart: Così fan tutte, 2010; Verdi: Macbeth, 2015) számára.
